Geometria e Algebra

Corso di laurea in Ingegneria Meccanica A

Politecnico di Bari — Anno accademico 2006/07

Programma svolto

2 Ottobre 2006
  1. La nozione di insieme
  2. Operazioni elementari fra insiemi: unione, intersezione, differenza
  3. Coppie ordinate e prodotto cartesiano di due insiemi
  4. Relazioni: le proprietà riflessiva, (anti)simmetrica e transitiva
  5. Relazioni d'equivalenza e insiemi quoziente
5 Ottobre 2006
  1. Esempi di relazioni di equivalenza
  2. Relazioni funzionali
  3. Funzioni iniettive, suriettive e biettive
  4. Composizione di funzioni
  5. Inversa destra e sinistra di una funzione
9 Ottobre 2006
  1. Richiami sulle funzioni
  2. Operazioni su di un insieme e strutture algebriche
  3. Elemento neutro e inverso di un elemento
  4. La proprietà associativa; monoidi e gruppi
  5. La proprietà commutativa
  6. Esempi di gruppi
12 Ottobre 2006
  1. Esempi di gruppi non abeliani
  2. Unicità dell'elemento neutro in un gruppo
  3. Sottogruppi
  4. Campi, sottocampi e relativi esempi
  5. Definizione di spazio vettoriale
16 Ottobre 2006
  1. Esempi di spazi vettoriali:
  2. Spazio delle n—ple di elementi
  3. Spazio delle funzioni continue di variabile reale
  4. Spazio delle matrici m per n.
19 Ottobre 2006
  1. Sottospazi di uno spazio vettoriale
  2. Sottospazio intersezione
  3. Sottospazio somma
  4. Chiusura lineare di un insieme
  5. Span di un insieme finito
  6. Insiemi di generatori
23 Ottobre 2006
  1. Lineare dipendenza e indipendenza
  2. Basi
  3. Teorema della Base
26 Ottobre 2006
  1. Teorema di completamento della Base
  2. Dimensione di uno spazio vettoriale
  3. Teorema della dimensione
  4. Esercizi sugli spazi vettoriali
30 Ottobre 2006
  1. Formula di Grassman
  2. Basi ordinate
  3. Rappresentazione in componenti di un vettore rispetto una base ordinata
  4. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali
2 Novembre 2006
  1. Matrici
  2. Matrice trasposta
  3. Somma e prodotto di matrici
  4. Proprietà del prodotto di matrici
  5. Rango di una matrice
6 Novembre 2006
  1. Determinante di una matrice quadrata
  2. Teorema di Laplace
  3. Proprietà dei determinanti
  4. Calcolo dei determinanti
  5. Legame fra insiemi di n vettori, loro rappresentazione e determinante
9 Novembre 2006
  1. Proprietà del rango
  2. Teorema di Kronecker
  3. Teorema degli orlati
13 Novembre 2006
  1. Applicazioni lineari
  2. Rango di una applicazione lineare
  3. Rappresentazione di una applicazione lineare mediante matrici
  4. Immagine e nucleo
16 Novembre 2006
  1. Esercizi in preparazione dell'esonero
4 Dicembre 2006
  1. Preimmagine di un vettore secondo un'applicazione lineare
  2. Sistemi lineari equivalenti
  3. Teorema di Rouchè—Capelli
  4. Sistemi di Cramer e loro risoluzione
  5. Risoluzione di sistemi non di Cramer
7 Dicembre 2006
  1. Discussione di sistemi con parametro
  2. Formula del cambiamento di base
  3. Matrici simili
  4. Autovalori e autovettori
  5. Equazione caratteristica di una matrice
  6. Definizione di autospazio
11 Dicembre 2006
  1. Proprietà degli autospazi
  2. Polinomio caratteristico di matrici simili
  3. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore
  4. Diagonalizzabilità
14 Dicembre 2006
  1. Spazi affini
  2. Supporto e giacitura
  3. Sottospazi affini
  4. Dipendenza e indipendenza di un insieme di punti; dimensione
  5. Riferimenti affini e coordinate
  6. Equazione parametrica di un sottospazio affine
18 Dicembre 2006
  1. Equazioni analitiche di un sottospazio
  2. Rette nel piano e nello spazio
  3. Equazione del piano nello spazio
  4. Parallelismo
  5. Posizione reciproca di due rette nel piano
  6. Parametri direttori
21 Dicembre 2006
  1. Posizione reciproca di due piani nello spazio
  2. Posizione reciproca di due rette nello spazio
  3. Fasci propri e impropri di rette nel piano
  4. Fasci propri e impropri di piani nello spazio
  5. Forme bilineari
8 Gennaio 2007
  1. Forme bilineari simmetriche
  2. Rappresentazione mediante matrice di una forma bilineare
  3. Prodotto scalare
  4. Disuguaglianza di Schwartz
  5. Ortogonalità e insiemi ortogonali
  6. Proiezione ortogonale di un vettore su di un altro
  7. Teorema di Gram—Schmidt
11 Gennaio 2007
  1. Disuguaglianza triangolare
  2. La nozione di distanza
  3. Distanza euclidea
  4. Riferimenti cartesiani per spazi affini
  5. Formula della distanza fra due punti in un riferimeno qualsiasi e in un riferimento cartesiano
  6. Distanza punto/retta nel piano
  7. Distanza punto/piano nello spazio
15 Gennaio 2007
  1. Distanza punto/retta nello spazio
  2. Distanza di due rette sghembe e retta di minima distanza
  3. Punto medio e asse di un segmento
  4. Piano assiale di un segmento nello spazio
  5. Prodotto vettoriale: definizione e proprietà
  6. Il gruppo ortogonale O(n)
  7. Inversa di una ortogonalità
  8. Il gruppo speciale ortogonale SO(2)
  9. Rotazioni nel piano
18 Gennaio 2007
  1. Cambiamenti di riferimento affine
  2. Affinità
  3. Isometrie
  4. Rotazioni, traslazioni e riflessioni nel piano euclideo
22 Gennaio 2007
  1. Esercizi su autovalori, autovettori
  2. Esercizi su posizione reciproca retta/piano nello spazio
25 Gennaio 2007
  1. Circonferenza e sfera
  2. Condizione di collinearità fra 3 punti nel piano e complanarità fra 4 punti nello spazio
  3. Equivalenza affine
29 Gennaio 2007
  1. Il piano proiettivo (Desarguesiano)
  2. Esercizi
1 Febbraio 2007
  1. Calcolo della retta di minima distanza fra due rette sghembe
  2. Esercizi