Geometria Combinatorica

Anno accademico 2011/12

Orario delle lezioni

Mecoledì	15.00-17.30	Aula 8
Venerdì	8.10-10.00	Aula 10

Note e appunti

Bibliografia

L.M. Batten, Combinatorics of finite geometries, Cambridge University Press, 1997, 978-0-521-59014-3.
T. Beth, D. Jungnickel, H. Lenz, Design Theory - Volume 1, Cambridge University Press, 1999, 978-052144432-3.
L. Giuzzi, Codici Correttori, Springer-Verlag, 2006 978-847-00539-6.
F. Mazzocca, Appunti del corso di Geometria Combinatoria 2009/10
D.R. Hughes, F.C. Piper, Design Theory, Cambridge University Press, 1985 978-0-521-25754-1.

Programma dettagliato del corso

Richiami di teoria dei campi finiti.
Strutture di incidenza, spazi (semi)lineari e disegni; relazioni elementari fra i parametri e matrice di incidenza.
Spazi e piani proiettivi
Il teorema di De Bruijn–Erdős e sue conseguenze
Limitazioni sui parametri dei disegni simmetrici
Matrici e disegni di Hadamard: costruzione da spazi proiettivi; la costruzione di Sylvester; le costruzioni di Paley. Disegni derivati ed estensione di disegni. I 3-Disegni di Hadamard
Il teorema di Bruck-Ryser-Chowla e sue conseguenze
Non esistenza del piano proiettivo di ordine 10; disegni estendibili
Estensioni di disegni simmetrici; cenni al teorema di Cameron
Piani proiettivi di traslazione: la costruzione di André e Bruck-Bose; fibrazioni normali; sottopiani.
Dimostrazione che ogni sottopiano di ordine \(q^2+q+1\) in \(PG(2,q^2)\) è un blocking set
Limitazioni sui blocking sets affini
Il teorema dell'ordine; coniche in Piani Proiettivi; archi.
Iperovali in caratteristica pari
Studio delle ovali in caratteristica dispari; il Teorema di Segre
Codici lineari a blocchi: generalità, matrice generatrice, matrice di controllo di parità, decodifica a sindrome.
Limitazione di Singleton, per impacchettamento di sfere e di Gilbert-Varshamov; costruzione di Wozencraft e legame con le fibrazioni di spazi proiettivi.
Codici MDS; la congettura fondamentale; curve razionali sghembe.
Codici ciclici: polinomio generatore e polinomio di controllo di parità
Trasformata discreta di Fourier e codici di Reed-Solomon: costruzione, rappresentazione come codici ciclici, algoritmo di decodifica di Welch-Berlekamp.